ترجمة: عبدالحفيظ العمري
خلال سلسلة محاضرة “ماسنجر” (1) لريتشارد فاينمان (2) عن “علاقة الرياضيات بالفيزياء” والتي ألقاها في جامعة كورنيلِ في 1965، تحدث “الشارح العظيم” (3) عن الاختلافات الرئيسيةَ التي وجدها بين الرياضيات والفيزياء.
أفكاره مُلخَّصَة بالأسفل.
اختلافات في المعرفة
«يُعد علماء الرياضيات تفكيرًا مجردًا جاهزًا “للاستخدام“، على الرغم من أنهم لا يعرفون فيما يُستخدم»
أولاً، يخاطب فاينمان الاختلافات في المستوى المعرفي للتحليل بين أولئك الذين يدرسون الرياضيات، ولا سيما علماء الرياضيات المميزين:
يتعامل علماء الرياضيات مع بنية التفكير فقط، ولا يهتمون حقًا بما يتحدثون عنه.
لا يحتاجون حتى إلى معرفة ما يتحدثون عنه، كما يقولون هم أنفسهم، أو ما إذا كان ما يقولونه صحيحًا.
ثم ينتقل بعد ذلك إلى وصف خاصية الحوسبة للأنظمة الرسمية والإمكانية النظرية للآلات من صنع الإنسان لاستنتاج النظريات التي لا يستطيع البشر أنفسهم فهمها:
الآن، شرحت أنه إذا ذكرت البديهيات لقول “كذا وكذا” و”كذا وكذا كذلك”، فماذا بعد ذلك؟ ثم يمكن تنفيذ المنطق دون معرفة ما تعنيه الكلمات “كذا وكذا.”
بمعنى، إذا كانت العبارات حول البديهيات صحيحة، أي صُيغت بعناية وكاملة بدرجة كافية، فليس من الضروري أن يكون لدى المرء الذي يفكر أي معرفة بمعنى هذه الكلمات.
سيكون قادرًا على استنتاج استنتاجات جديدة بنفس اللغة.
إذا استخدمت كلمة مثلث في إحدى البديهيات، فقد يكون هناك بعض العبارات حول المثلثات في الاستنتاج. في حين أن المرء الذي يفكر قد لا يعرف حتى ما هو المثلث! ولكن، لاحقاً يمكنه قراءة ما قاله مرة أخرى ويقول “أوه، مثلث، هذا مجرد ثلاثة أضلاع ما لديك – وكذا وكذا”، ولذا فأنا أعرف هذه الحقيقة الجديدة.
بعبارة أخرى، يُعد علماء الرياضيات تفكيرًا مجردًا جاهزًا “للاستخدام”.
هذا على عكس المستوى المعرفي للتحليل في الفيزياء:
الفيزيائي له معنى لجميع العبارات وهناك شيء مهم للغاية لا يقدره الكثير من الناس الذين يدرسون الفيزياء، لكنهم لا يأتون من الرياضيات: إن الفيزياء ليست رياضيات والرياضيات ليست فيزياء. بل تساعد إحداهما الأخرى.
ولكن، يجب أن يكون لديك بعض الفهم لعلاقة الكلمات بالعالم الحقيقي. إذا لزم الأمر، في النهاية أن تترجم ما توصلت إليه إلى اللغة الإنجليزية، إلى عالم الكتل النحاسية والزجاجية التي ستجري التجربة بها، لمعرفة ما إذا كانت النتائج صحيحة. هذه مشكلة ليست مشكلة رياضيات على الإطلاق.
لقد ذكرت بالفعل العلاقة الأخرى الوحيدة التي .. من الواضح بالطبع أن التفكير الرياضي الذي طُوّر له قوة كبيرة ويستخدم في الفيزياء.
من ناحية أخرى، في بعض الأحيان يكون تفكير الفيزيائيين مفيدًا لعلماء الرياضيات.
توقف فاينمان عند هذا الحد دون مزيد من الشرح، ولكن المثال المناسب الذي يجب تضمينه هنا هو عمل إدوارد ويتن (4) حول نظرية الطاقة الإيجابية (5) التي حصل بسببها على ميدالية فيلدز (6).
في مقالة عن عمل إدوارد ويتن، وصف عالم الرياضيات مايكل عطية (7) فيما بعد أهميته في الرياضيات:
“إن قدرته على تفسير الأفكار الفيزيائية في شكل رياضي فريدة تمامًا. لقد فاجأ المجتمع الرياضي مرارًا وتكرارًا من التطبيق الرائع للبصيرة الفيزيائية التي أدت إلى نظريات رياضية جديدة وعميقة … ]هو[ كان له تأثير عميق على الرياضيات المعاصرة. توفر الفيزياء بين يديه مرة أخرى مصدرًا ثريًا للإلهام والبصيرة في الرياضيات”. – مايكل عطية.
الاختلافات في التطبيق
«يحب علماء الرياضيات جعل تفكيرهم عامًا قدر الإمكان»
ينتقل فاينمان لمناقشة قابلية تطبيق الرياضيات بشكل فكاهي، على عكس اهتمامات معظم الفيزيائيين:
إذا قلت “لدي فضاء ثلاثي الأبعاد” […] وسألت علماء الرياضيات عن النظريات، فسيقولون “انظر الآن، إذا كان لديك فضاء بأبعاد“n ، فهذه هي النظريات”.
“نعم، حسنًا أريد فقط الحالة ذات الأبعاد الثلاثة…”، “حسنًا، إذن استبدل .”n = 3!
اتضح أن العديد من النظريات المعقدة لديهم أبسط بكثير لأنها صادفت حالات خاصة.
يهتم الفيزيائي دائمًا بالحالة الخاصة. إنه لا يهتم أبدًا بالحالة العامة. إنه يتحدث عن شيء. إنه لا يتحدث بشكل تجريدي عن أي شيء. إنه يعرف ما يتحدث عنه، يريد مناقشة قانون الجاذبية الجديد، لا يريد حالة القوة التعسفية، يريد قانون الجاذبية!
ولذا، هناك قدر معين من الاختزال لأن علماء الرياضيات قد أعدوا هذه الأشياء لمجموعة واسعة من المسائل التي تعد مفيدة جدًا، وبعد ذلك اتضح دائمًا أنه يتعين على الفيزيائيين المساكين أن يعودوا ويقولون “عفواً، لقد أردتَ أن تخبرني عن هذه الأبعاد الأربعة ..”
حول الحدس مقابل الصرامة
«عالم الرياضيات المسكين ليس لديه دليل سوى الصرامة الرياضية الدقيقة والعناية بالحجة»
يتطرق فاينمان بعد ذلك إلى عملية الاكتشاف في كلا العلمين، مع التأكيد على الميزة التي يتمتع بها علماء الفيزياء بأن موضوعهم، بمعنى أساسي، تطبيقي بدلاً من مجرد تجريد:
عندما تعرف ما الذي تتحدث عنه، فهذه الأشياء هي قوى، وهذه كتل، وهذا قصور ذاتي وما إلى ذلك، عندها يمكنك استخدام الكثير من الحس العام، وشعور تجربتك الخاصة ذات الثقة عن العالم. لقد رأيت أشياء مختلفة، أنت تعرف تقريبا كيف ستتصرف هذه الظاهرة.
حسنًا، عالم الرياضيات المسكين الذي ترجم ذلك إلى معادلات ورموز لا تعني شيئًا بالنسبة له، وليس لديه دليل سوى الصرامة الرياضية الدقيقة والعناية بالحجة، في حين أن الفيزيائي الذي يعرف بشكل أو بآخر كيف يمكن أن تكون الإجابة، سيخرج ويخمن نوعًا ما ويمضي قدمًا بسرعة إلى حد ما.
الصرامة الرياضية ذات الدقة الفائقة ليست مفيدة جدًا في الفيزياء، ولا الاتجاه الحديث في الرياضيات لتفحص البديهيات.
الآن، يمكن لعلماء الرياضيات أن يفعلوا ما يريدون القيام به، ولا ينبغي لأحد أن ينتقدهم لأنهم ليسوا عبيدًا للفيزياء.
ليس من الضروري أن يفعلوا ذلك بهذه الطريقة لمجرد أن هذا سيكون مفيدًا لك. يجب عليهم أَنْ يعملوه بذلك الأسلوب، يمكنهم أن يفعلوا ما يريدون، إنها وظيفتهم الخاصة، وإذا كنت تريد شيئًا آخر، فعليك عمله بنفسك.
يجادل فاينمان هنا أنه نظرًا لأن الفيزياء تتعلق بالظواهر الطبيعية، فإن البشر لديهم ميل أفضل للحدس في هذا المجال.
هذا إلى حد ما يتعارض مع كيفية وصف عملية اكتشاف بعض النظريات الرياضية، بما في ذلك اكتشافات جون فوربس ناش الابن (8) حول المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية:
عرف علماء الرياضيات في الخمسينيات من القرن الماضي عن إجراءات تافهة نسبيًا لحل المعادلات التفاضلية العادية (ODEs) باستخدام أجهزة الكمبيوتر. ومع ذلك، لم تكن هناك طرق ثابتة لحل المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية، مثل تلك التي تحدث أثناء الحركات المضطربة لمحرك نفاث. […]
بحلول ربيع عام 1958، تمكن ناش من الحصول على نظريات الوجود الأساسي والتفرد والاستمرارية باستخدام طرق من اختراعه الخاص. ومن المذهل أن هذه الأساليب تضمنت “تحويل المعادلات غير الخطية إلى معادلات خطية، ثم حملها بوسائل غير خطية” – وهو أمر لم يفكر فيه أحد من قبل، “ضربة العبقري” وفقًا لبيتر لاكس، الذي تابع تقدمه عن كثب.
حول هذه التقنية، صرح لارس جاردينجLars Gårding ، أستاذ الرياضيات في جامعة Lund والمتخصص في المعادلات التفاضلية الجزئية، بالمثل لاحقًا: “عليك أن تكون عبقريًا للقيام بذلك”.
حول فائدة النماذج
يناقش فاينمان بعد ذلك فائدة النماذج في الفيزياء، وما يبدو من افتقارها إلى الفائدة في عملية صنع الاكتشافات الجديدة:
إن النقطة التالية هي السؤال، ما إذا كان يجب أن نخمن عندما نحاول الحصول على قانون جديد، وما إذا كان ينبغي علينا استخدام الشعور بتجربتنا الخاصة ذات الثقة والمبادئ الفلسفية، أي “لا أحب المبدأ الأدنى، أنا أحب الحد الأدنى من التحكم” أو” لا أحب الفعل عن البعد أو أحب الفعل عن البعد”.
السؤال هو إلى أي مدى تساعد النماذج. إنه شيء مثير للاهتمام. غالبًا ما تساعد النماذج، وغالبًا ما يحاول مدرسو الفيزياء تعليم كيفية استخدام هذه النماذج والحصول على شعور طبيعي جيد لكيفية سير الأمور.
لكن الاكتشافات العظيمة دائمًا ما تكون بشكل مجرد بعيدةً عن النماذج، التي لم تفعل أي شيء جيد.
اكُتشفت الديناميكا الكهربية لماكسويل (9) لأول مرة باستخدام الكثير من العجلات الخيالية على تروس وسيطية idlers وكل شيء آخر في الفضاء. إذا تخلصت من جميع تروس وسيطية idlers وكل شيء آخر في الفضاء، فسيكون الشيء على ما يرام.
اكتشف ديراك (10) القوانين الصحيحة لميكانيكا الكم للنسبية ببساطة عن طريق تخمين المعادلات.
يبدو أن طريقة تخمين المعادلات طريقة فعالة جدًا لتخمين القوانين الجديدة.
يُظهر هذا مرة أخرى أن الرياضيات هي طريقة عميقة للتعبير عن الطبيعة، ومحاولات التعبير عن الطبيعة بالمبادئ الفلسفية أو بتجربة مشاعرنا الميكانيكية الخاصة ذات الثقة ليست طريقة فعالة.
حول قابلية تطبيق الفيزياء الرياضية
«لماذا يجب أن يستغرق الأمر قدرًا لا حصر له من المنطق لمعرفة ما الذي سيفعله جزء صغير للغاية من الزمكان؟»
يستمر فاينمان بالتنبوء بمهارة أنه في مرحلة ما في المستقبل، لن يُعبَّر عن طبيعة العالم بلغة الرياضيات. بدلاً من ذلك، ستكون هناك طريقة أخرى للتعبير عن كيفية عمل الطبيعة، والتي تتطلب حسابًا أقل:
يجب أن أقول، لقد قمت غالبًا بوضع فرضية مفادها أن الفيزياء في النهاية لن تتطلب بيانًا رياضيًا. سيتم الكشف عن الآلية في نهاية المطاف.
يزعجني دائمًا أنه على الرغم من كل هذه الأعمال المحلية، فإن ما يحدث طبقا للقوانين وكيف نفهمها اليوم – بغض النظر عن مدى صغر المنطقة المكانية والمنطقة الزمنية- يتطلب حوسبة آلية بعدد لا حصر له من العمليات المنطقية للفهم.
الآن كيف يمكن أن يحدث كل ذلك في تلك المساحة الصغيرة جدا؟ لماذا يجب أن يستغرق الأمر قدرًا لا حصر له من المنطق لمعرفة ما الذي سيفعله جزء صغير للغاية من الزمكان؟
ولذا، فقد وضعت فرضية في كثير من الأحيان مفادها أن القوانين ستصبح، في النهاية، بسيطة مثل رقعة الشطرنج وأن كل التعقيد يأتي من الحجم.
لكن هذا من نفس طبيعة التكهنات الأخرى التي يقوم بها الآخرون. تقول “أحبه”، “لم تحبه”. ليس من الجيد أن تكون متحيزًا جدًا بشأن هذه الأشياء.
في الحاجة إلى الرياضيات
بعد ذلك اقتبس فاينمان من كلا من السير جيمس جينز (11) وأشار إلى عمل الروائي والكيميائي الفيزيائي سي بي سنو (12) “الثقافتين” في مناقشته للرياضيات في الفيزياء:
للتلخيص، أود استخدام كلمات السير جيمس جينز التي تقول “إن المصمم العظيم يبدو أنه عالم رياضيات، وبالنسبة لك يا مَنْ لا تعرف الرياضيات، من الصعب حقًا الحصول على شعور حقيقي يشمل ويصل إلى الجمال الأعمق للطبيعة”.
تحدث سي. بي. سنو C. P. Snow عن الثقافتين.
أعتقد حقًا أن هاتين الثقافتين هما أشخاص امتلكوا هذه التجربة في فهم الرياضيات جيدًا بما يكفي لتقدير الطبيعة ذات يوم، وأشخاص لم يمتلكوا ذلك.
إنه لأمر سيء للغاية أن تكون رياضيات، وأن تكون الرياضيات صعبة لبعض الناس. عندما كان أحد الملوك يحاول تعلم الهندسة من إقليدس، اشتكى من صعوبة ذلك، وقال إقليدس إنه “لا يوجد طريق ملكي للهندسة”.
حول التواصل
«ربما تكون الآفاق محدودة التي تسمح لمثل هؤلاء الناس أن يتخيلوا أن الإنسان هو مركز اهتمام الكون»
أخيرًا، يعالج فاينمان حاجة الفيزيائيين إلى إتقان الرياضيات من أجل أن يكونوا قادرين على القيام باكتشافات جديدة حول الطبيعة، مصرحاً إلى أن الرياضيات ضرورية لفهمنا الحالي لكيفية عمل العالم:
لا يمكننا، بوصفنا أناس تفحصوا هذه الأمور، أن نظن أن الفيزيائي لا يمكنه تحويل هذا الأمر إلى أي لغة أخرى لدينا؛ فإذا كنت تريد مناقشة الطبيعة، والتعرف على الطبيعة، وتقدير الطبيعة، فمن الضروري معرفة اللغة التي تتحدث بها، فهي تقدم معلوماتها في شكل واحد فقط.
نحن لسنا من الترفّع لدرجة “أن نطالب الطبيعة بالتغيير” قبل أن نوليها أي اهتمام.
يبدو لي أن جميع الحجج الفكرية التي يمكنك تقديمها من شأنها أن توصل القليل جدًا للآذان الصماء.
فلن تقنع كل الحجج الفكرية في العالم تلك التي تدور حول “الثقافة الأخرى”.
الفلاسفة الذين حاولوا أن يعلموك عن طريق إخبارك نوعيًا عن هذا الأمر.
وأنا أحاول أن أصف ذلك، ولكن منْ لا يحصل عليه لأنه مستحيل. نحن نتحدث إلى آذان صماء.
ربما الآفاق محدودة التي تسمح لمثل هؤلاء الناس بتخيل أن الإنسان هو مركز اهتمام الكون.
…
هذا المقال جزء من سلسلة من القصص حول موضوعات متعلقة بالرياضيات، نُشِرَتْ في Cantor’s Paradise، وهي مطبوعة أسبوعية على موقع Medium.
…
مصدر المقالة:
Richard Feynman on the Differences between Mathematics and Physics
…
الهوامش:
1- سلسلة محاضرة “ماسنجر”: سبع محاضرات ألقاها فاينمان بجامعة كورنل وهي مخصصة للعامة والمتخصصين على حد سواء، وتم جمعها فيما بعد في كتاب بعنوان “خاصية القانون الفيزيائي”.
2- ريتشارد فاينمان: (1918 –1988) فيزيائي نظري أمريكي، نال لإسهاماته في تطوير الكهروديناميكا الكمية، جائزة نوبل للفيزياء عام 1965، بالمشاركة مع جوليان شفينغر وشينيتشيرو توموناغا.
3- الشارح العظيم: لقب أطلق على ريتشارد فاينمان لموهبته في تبسيط الأمور الصعبة أثناء الشرح.
4- إدوارد ويتن: (ولد في 26 أغسطس 1951) فيزيائي أمريكي متخصص في الفيزياء الرياضية ويشغل حاليًا منصب أستاذ الفيزياء الرياضية في معهد الدراسات المتقدمة الأمريكي، واحد من كبار الباحثين في نظرية الأوتار الفائقة ونظرية الجاذبية الكمية، حصل على ميدالية فيلدز عام 1990، وهو الفيزيائي الوحيد الذي نال هذا الشرف.
5- نظرية الطاقة الإيجابية: نظرية الطاقة الإيجابية إلى مجموعة من النتائج التأسيسية في النسبية العامة والهندسة التفاضلية. بشكل عام ، يؤكد شكله القياسي على أن طاقة الجاذبية لنظام معزول غير سالبة ، ولا يمكن أن تكون صفراً عندما لا يكون لدى النظام أجسام جاذبية.
6- ميدالية فيلدز: جائزة عالمية في حقل الرياضيات (تعادل جائزة نوبل)، تأسست بناء على طلب من عالم الرياضيات الكندي جون تشارلز فيلدز، وتمنح هذه الجائزة مرة كل أربع سنوات بعد اجتماع لمجموعة من علماء الرياضيات، وقد منحت الجائزة تسعة عشر مرة منذ البدء فيها في العام 1936.
7- مايكل عطية: (1929 – 2019) عالم بريطاني مولود لأب عربي من أصل لبناني، حاصل على لقب فارس “سير” البريطاني. وقد حصل في عام 1967 على جائزة فيلدز، عمل حتى أواخر أيامه أستاذا في جامعة أدنبره في اسكتلندا.
8- جون فوربس ناش الابن: (1928 – 2015) عالم اقتصاد ورياضيات أمريكي اهتم بنظرية الألعاب والهندسة التفاضلية، كان مصاباً بمرض الفصام، حصل على جائزة نوبل للاقتصاد عام 1994،عن عمله في نظرية الألعاب.
9- ماكسويل: جيمس ماكسويل (1831 – 1879) عالم فيزياء اسكتلندي، أبرز إسهاماته متمثلة في معادلاته الأربع التي تفسر ظهور الموجات الكهرومغناطيسية.
10- ديراك: بول ديراك (1902 – 1984) عالم فيزياء بريطاني وأحد مؤسسي ميكانيكا الكم، نال مع شرودنجر جائزة نوبل للفيزياء عام 1933.
11- السير جيمس جينز: (1877 – 1946) عالم فلك بريطاني، من أشهر إنجازاته تعيين كتلة جينس؛ وهي أقل كتلة لسحابة من الغاز والغبار الكوني يمكن أن يتكون منها نجم.
12- سي بي سنو: (1905- 1980) كاتب وسياسي وروائي بريطاني، صاحب كتاب (الثقافتان) الجزء الأول من محاضرة ريدي المؤثرة لعام 1959 كانت أطروحتها أن “الحياة الفكرية للمجتمع الغربي بأسره” انقسمت إلى ثقافتين – العلوم، والإنسانيات – والتي كانت عقبة رئيسية، أمام حل مشاكل العالم.
…
لا تعليقات